ЗНО математика. Система рівнянь з параметром 1

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе при підготовці до зовнішнього оцінювання 2017 року з математики. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень при підготовці до тестування, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ II. Рівняння і нерівності

Завдання 11.60 Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому система рівнянь

має розв'язком точно 2 пари чисел (х₀; у₀).
Розв'язання: Розберемо окремо кожне рівняння із системи. Перше описує коло з центром в початку координат і радіусом корінь з восьми. Друге рівняння, якщо його переписати у вигляді

це модуль функція, взята з протилежним знаком, яка піднята відносно початку координат на величину параметра а. Побудуємо обидві функції графічно

Бачимо, що система рівнянь має два розв'язки, якщо параметр лежить в межах від нижнього краю кола до верхнього. Також слід додати випадок, коли модуль функція знаходиться над колом і ає з ним дві точки дотику (-2;2) і (2;2). В такому випадку модуль функція перетинає вісь ординат в точці (0;4). Отже шуканий параметр рівний 4.
Відповідь: 4.

Завдання 11.61 (Т-07, 35) Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому система Рівнянь

має два розв'язки.
Розв'язання: Проаналізуємо систему лінійних рівнянь.
y=x-a - рівняння прямої
– рівняння кола радіусом 1 з центром в початку координат. Виконаємо побудову отриманих функцій

За побудовою пряма має лежати між дотичними. Знайдемо рівняння дотичних до кола, для цього розв'яжемо рівняння

Точки перетину з віссю абсцис приймають в два рази більше значення від знайденого. Звідси рівняння дотичних

Якщо прямі знаходяться між дотичними, то вони мають дві точки перетину з колом. Звідси слідує , що параметр має належати інтервалу

Звідси слідує, що a=1 є найбільшим цілим значенням параметра, що задовольняє умову задачі.
Відповідь: 1.