Дискретна випадкова величина Х має закон розподілу Пуассона, якщо ймовірності її можливих значеньзакон розподілу Пуассона, ймовірністьобчислюється за формулою Пуассона, де a=np<10. Як правило, Пуассонівський розподіл стосується ймовірності появи сприятливої події в великій кількості експериментів, якщо в одному – ймовірність успішного завершення прямує до нуля.
У табличній формі цей закон розподілу має вигляд

розподіл Пуассона, таблицяУмова нормування для пуасонівського закону розподілу запишеться наступним чиномумова нормування, розподіл ПуассонаПобудуємо ймовірну твірну функцію для наведеного закону:імовірнісна твірна функція, формулаВона приймає досить простий компактний виглядймовірнісна твірна функція, формулаСкориставшись залежностями для визначення математичного сподівання М (Х) та дисперсії D (X) через похідні від твірної функції в одиниці, дістанемо їх прості залежності

1. Математичне сподівання визначають за формулою

математичне сподівання, обчислення

математичне сподівання, формула

2. Маючи другу похідну від твірної функції в одиницідруга похідна твірної функції, обчисленнязнаходять дисперсіюдисперсія, визначення
дисперсія, формулаСереднє квадратичне відхилення встановлюємо через квадратний корінь з дисперсіїсереднє квадратичне відхилення, формулаОтже, для пуассонівського закону розподілу ймовірностей математичне сподівання і дисперсія рівні добутку кількості дослідів на ймовірність сприятливої подіїНа практиці, якщо математичне сподівання і дисперсія близькі за значенням то приймають гіпотезу, що досліджувана величина має закон розподілу Пуассона.

3. Асиметрія і ексцес для пуасонівського закону також рівні і обчислюються за формуламиасиметрія, ексцес, формула

Задачі на Пуассонівський закон

Задача 1. Мікропроцесор має 10000 транзисторів, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що транзистор вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною малоймовірною і становить 0,0007. Визначити математичне сподівання М (Х) і середнє квадратичне відхилення S (Х) випадкової величини Х — числа транзисторів, що вийдуть із ладу під час роботи мікропроцесора.

Розв'язання. Задача задовільняє усім законам пуасонівського розподілу:
кількість випробувань n=10000 велика;
імовірність р=0,0007 близька до нуля;
їх добуток a=np=7<10.
На основі даних обчислюємо:
математичне сподівання M(X)
математичне сподівання, знаходження
дисперсію
дисперсія, знаходження
та середнє квадратичне відхилення
середнє квадратичне відхилення,, знаходження
На контрольній чи тестах повтори обчислення не сладно, головне мати під рукою потрібні формули.

 

Задача 2. У рибальському містечку 99,99% чоловіків хоча б раз в житті були на рибалці. Проводять соціологічні дослідження серед 10000 навмання вибраних чоловіків. Визначити дисперсію D (X) і середнє квадратичне відхилення S (Х) випадкової величини Х — числа чоловіків, які жодного разу не були на рибалці.

Розв'язання. Легко переконатися, що величина Х має пуассонівський закон розподілу. Із умови задачі знаходимо

За формулами знаходимо дисперсію і середнє квадратичне відхилення
дисперсія, обчислення
середнє квадратичне відхилення,
Можна знайти в гуглі ще багато подібних задач, всіх їх об'єднує зміна випадкової величини згідно закону Пуассона. Алгоритм знаходження числових характеристик наведений вище і є спільним для всіх задач, крім того формули для обчислень характеристик розподілу є достатньо простими навіть для школярів.