Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжність

Означення знакозмінного ряду: Числовий ряд вигляду a₁-a₂+a₃ -….+(-1)^n*a_n+… або скорочений запис називається знакозмінним або знакопочережним рядом.

Ознака Лейбніца: Якщо члени знакопочергового ряду спадають за абсолютною величиною і границя абсолютної величини загального члена ряду дорівнює нулю, то ряд збігається

Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність

Теорема (Коші): Якщо ряд із модулів членів ряду збіжний |u_n|, то знакозмінний ряд також збіжний.
Означення 1: Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збіжний ряд складений із модулів членів знакозмінного ряду.

Означення 2: Якщо ряд складений із модулів знакозмінного ряду розбіжний, а сам знакозмінний ряд збіжний, то така збіжність називається умовною, а ряд умовно збіжним.

Приклади дослідження збіжності ряду

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

Розв'язування: Даний ряд є знакозмінним рядом, кожен його наступний член по модулю 1/n<1/(n+1)<... менший за попередній, границя при номері прямуючому до безмежності прямує до нуля.

За ознакою Лейбніца знакозмінний ряд збіжний, хоча ряд складений із модулів представляє собою гармонійний ряд , який розбіжний, тому досліджений ряд умовно збіжний.

Приклад 2. Дослідити ряд

Розв'язування: Перевіряємо необхідні умови збіжності ряду

Перша умова виконується – члени ряду з модулів монотонно спадають. Однак границя модуля загального члена ряду не прямує до нуля при прямуванні номера до безмежності, тому ряд за ознакою Лейбнца розбіжний.

Приклад 3. Дослідити збіжність ряду

Розв'язування: Ряд монотонно спадає 1/7>2/15>3/23>…
Перша з необхідних умов збіжності знакозмінного ряду виконується.
Обчислимо границю

За ознакою Лейбніца ряд розбіжний, границя n-го члена по модулю не прямує до нуля при номері прямуючому до безмежності.

Приклад 4. Дослідити на умовну та абсолютну збіжність ряд


Розв'язування: 1) Легко переконатися, що кожний наступний член ряду по модулю 1/(n*3^n) менший за попередній.
1/3>1/18>1/243…
2) Для визначення абсолютної збіжності ряду застосуємо ознаку Даламбера

Границя відношення сусідніх членів ряду за модулем менша одиниці, отже ряд складений з модулів за ознакою Даламбера збіжний.
Звідси слідує, що заданий знакозмінний ряд абсолютно збіжний.

Приклад 5. Дослідити ряд збіжність


Розв'язування: В залежності від n синус приймає як від'ємні так і додатні значення, тому даний ряд є знакозмінним.
Оцінимо загальний член ряду по модулю

Ряд збіжний, як геометричний ряд 1/q^n з основою q=1/ln10<1.
Оскільки ряд із модулів збіжний за ознакою ознакою порівняння, то заданий ряд збіжний, причому абсолютно.

Приклад 6. Довести, що ряд збіжний умовно


Розв'язування: Легко переконатися, що члени ряду за модулем спадають.
Границя загального члена ряду за модулем прямує до нуля

тому за ознакою Лейбніца ряд збіжний.
Ряд складений із модулів заданого ряду із загальним членом u_n=1/n^1/5 є рядом Діріхле зі степенем p=1/5<1, тому він є розбіжним. Якщо абсолютний ряд розбіжний, а знакозмінний ряд збіжний, то він збіжний умовно, що і слід було довести.
Як висновок з цього прикладу, можна вказати, що всі знакозмінні ряди, які за модулем можна порівняти з рядом Діріхле вигляду будуть абсолютно збіжними, якщо p>1.
Тобто, якщо ряд з модулів спадає трохи швидше за гармонічний ряд a_n=1/n то такий знакозмінний ряд абсолютно збіжний.

Приклад 7. Довести збіжність ряду

Розв'язування: Кожний наступний член ряду складеного з модулів менший за попередній
1/e>1/e^2>1/e^3…
Границя n-го члена ряду прямує до нуля

тому за ознакою Лейбніца знакозмінний ряд збіжний.
Для дослідження на абсолютну збіжність застосуємо радикальну ознаку Коші

Зауважте, що вона ефективна лише у випадках коли члени ряду можна представити як певну скінченну величину в степені n.
Оскільки одиниця розділити на експоненту менша за одиницю 1/e<1, то границя менша одиниці, отже абсолютний ряд збіжний.
Звідси слідує, що знакозмінний ряд абсолютно збіжний.

Приклад 8. Дослідити на абсолютну збіжність ряд


Розв'язування: Бачимо, що ряд з модулів монотонно спадає
1>9/25>81/343>…
Знайдемо границю на нескінченності

Тут частину знаменника звели під другу чудову границю =e.
Для перевірки на абсолютну збіжність застосуємо ознаку Даламбера

Аналогічний результат отримаємо за радикальною ознакою Коші

Абсолютний ряд збіжний, тому робимо висновок, що знакозмінний ряд абсолютно збіжний.

Застосовуйте наведену схему для доведення збіжності рядів за Лейбніцом, якщо буде важко, звертайтесь за допомогою.
В наступному уроці розберемо приклади на обчислення суми знакозмінного ряду з заданою точністю та дослідження рядів на збіжність.