Нехай задана нескінченна послідовність чисел u1, u2, u3, ..., un, ... Нескінченна сума чисел виду u1+u2+u3+...+un+...- називається числовим рядом, а числа u1, u2, u3, ..., un, ...- членами ряду.
Ряд позначають так:
Вираз для n- го члена ряду при довільному натуральному n>0 , називається загальним членом ряду і позначається un.
Загальний член ряду можна задати формулою un=f(n), з допомогою якої записується довільний член ряду.

Суму n перших його членів позначають через Sn:
Sn=u1+u2+u3+...+un.
і прийнято називати n-ою частинною сумою ряду.
Часткові суми ряду утворюють деяку числову послідовність його часткових сум Sn. Ряд називається збіжним, якщо збігається послідовність його часткових сум Sn, тобто якщо існує скінчена границя

Число S при цьому називають сумою ряду і записують

При цьому вважають також, що ряд збігається до числа S.
Якщо послідовність часткових сум ряду розбігається, то ряд називається розбіжним. У цьому випадку ряд не має суми.
Ряд, що складений з елементів геометричної прогресії називається геометричним рядом:

Число q — знаменник геометричної прогресії.
Позначимо Sn сума n перших членів прогресії та знайдемо її значення:


Звідси отримуємо формулу частової суми ряду


Якщо |q|<1, то суму ряду знаходимо за формулою

а геометричний ряд збігається.

Якщо |q|>1, то сума ряду прямує до безмежності при великих номерах

Якщо q=1, то сума теж розбіжна (прямує до безмежності)

Якщо q=-1, то маємо формулу суми, що залежить від номера

таким чином, послідовність часткових сум Sn - розбіжна.
Ряд вигляду

називається гармонічним рядом. Він розбіжний.
Числовий ряд вигляду

називається узагальненим гармонічним рядом. Доведено, що при p<=1 узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при p>1 -ряд збігається.

Якщо ряд збігається, то різниця між сумою S і частинною сумою його Sn

називається n -им залишком ряду.
Залишок Rn ряду являє собою ту похибку, яка одержиться, якщо замість наближеного значення суми ряду S взяти суму перших n членів цього ряду. Але оскільки S є границя суми Sn, то для збіжного ряду виконується умова, що границя залишку прямує до нуля при номері прямуючому до безмежності

Таким чином, взявши достатньо велике число членів збіжного ряду, можна суму цього ряду обчислити з любою точністю. Звідси випливає, що основною задачею теорії рядів є дослідження збіжності ряду.