Пряма і площина

Точка, пряма, промінь, відрізок. Відповіді до задач

2018-11-17T20:29:30+02:00

Одними з початкових понять в курсі геометрії є означення точки, прямої, променя та відрізка. Ці базові поняття будуть дані в ході цього уроку на прикладах, які Вас чекатимуть в шкільній програмі та в подальшому навчанні. Запам'ятайте максимум того, що тут викладено, оскільки матеріал є фундаментом до розуміння всіх наступних публікацій, що йдуть за цією. Аксіоми максимально прості, а завдання різноманітні, тому Ви багато зможете охопити як з теорії, так і практики.
Уважно перегляньте все, що написано далі.

Задача 44.1 Дано чотири точки, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Через кожні дві точки проведено пряму. Скільки прямих проведено?

А	Б	В	Г	Д
Три	чотири	п’ять	шість	вісім

Розв'язування: Маємо n=4 точок, жодні 3 з яких не лежать на одній прямій (за умовою задачі).

З кожної n точки проведено пряму до інших n-1 точок, отримаємо n(n-1).
Але кожна пряма проходить через дві точки, тому кількість прямих k, що проходить через n точок, жодні 3 з яких не лежать на одній прямій можна обчислити за формулою:

Тобто через 4 точки, жодні 3 з яких не лежать на одній прямій, можна провести 6 прямих.
Відповідь: шість –Г.

Задача 44.2 На прямій позначено чотири точки.

Скільки утворилося променів з початком у цих точках?

А	Б	В	Г	Д
Чотири	п’ять	шість	сім	вісім

Розв'язування: Промінь (півпряма) – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки (за означенням).
Це означає, що з кожної n точки можна провести по два промені.
Отже, k=2n=2*4=8, тобто з 4 точок прямої утворилося 8 променів.
Відповідь: вісім –Д.

Задача 44.3 На прямій позначено чотири точки.
Скільки утворилося відрізків з кінцями у цих точках?

А	Б	В	Г	Д
Три	чотири	шість	сім	вісім

Відрізок – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками (кінцями відрізками) (за означенням).
Це означає, що з кожної n точки можна провести по два відрізки, але крайні точки утворюють лише по одному відрізку.
Отже, k=2n-2=2*4-2=8-2=6, тобто з 4 точок прямої утворилося 6 відрізків:
AB, AC, AD, BC, BD і CD,
причому запис AB і BA означає той самий відрізок.

Відповідь: шість –В.

Задача 44.4 Точка C лежить між точками A та B.
Вказати спільну частину променів AB та BC.

А	Б	В	Г	Д
Відрізок BC	відрізок AB	промінь AB	точка B

Розв'язування: Промінь (півпряма) – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки (за означенням).
Відрізок – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками (кінцями відрізками) (за означенням).
Промінь AB має початок в точці A і проходить через точку B;
промінь BC має початок в точці B і проходить через точку C.
Тому спільною частиною променів AB і BC є частина прямої, що лежить між точками A та B, а за означенням це і є відрізок AB.
Відповідь: відрізок AB –Б.

Задача 44.20 Точки A, B та C лежать на одній прямій. Встановити відповідність між характерними властивостями множин (1–4) та фігурами (А–Д).

1. Множина всіх точок прямої, що лежать разом з
точкою B між точками A та C

2. Множина всіх точок прямої, які лежать з
точкою C по один бік від точки A

3. Множина всіх точок прямої, які лежать з
точкою A по один бік від точки C

4. Множина всіх точок прямої, які разом з
точкою A лежать між точками B та C

А. Промінь CA

Б. Відрізок BC

В. Відрізок AB

Г. Відрізок AC

Д. Промінь AC

Розв'язування: Відрізок – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками (кінцями відрізками) (за означенням).

Промінь (півпряма) – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки (за означенням).

1) Початок в точці A, а кінець в точці C, тому це відрізок AC Г;

2) Початок в точці A, а кінця немає, тому це промінь AC Д;

3) Початок в точці C, а кінця немає, тому це промінь CA А;

4) Початок в точці B, а кінець в точці C, тому це відрізок BC Б.

Задача 44.25 На відрізку позначили п’ять точок.
Скільки всього відрізків утворилося?

Розв'язування: На відрізку AB позначимо п'ять точок K, L, M, N, O, та випишемо усі відрізки, які утворилися:
AK, AL, AM, AN, AO, AB, KL, KM, KN, KO, KB, LM, LN, LO, LB, MN, MO, MB, NO, NB, OB - всього утворилося 21 відрізок.
Тут можна помітити арифметичну прогресію: нехай n - загальна кількість точок на прямій, тоді
.
Відповідь:21.

Далі проаналізуємо приклади на визначення кутів, відрізків, пропорцій і більш складні задачі, які без знання основ, що тут наведені розглядати не варто.
Учіться і гарних Вам результатів!

Вимірювання відрізків. Готові задачі

2018-11-17T20:21:54+02:00

Задачі на визначення довжини відрізків одні з найлегших в курсі шкільної математики. При підготовці до вступу у Вузи вони також зустрічаються, серед них Вас можуть чекати наведені далі приклади. На всіх необхідних означеннях та аксіомах буде наголошено при обчисленні задач.

Задача 44.5 На відрізку AB позначено точку M таку, що AM=5 см, MB=15 см.
Знайти відношення AM:MB.

А	Б	В	Г	Д
1/4	1/3	1/2	1/5	1/6

Розв'язування: Довжина відрізка AB дорівнює сумі довжин відрізків AM=5 см і MB=15 см.
отже, AB=AM+MB=5+15=20 см.
Звідси,

Відповідь: 1/4 –А.

Задача 44.6 На відрізку MK завдовжки 26 см вибрано точку O.
Знайти відстань між точками M та O, якщо вона на 12 см більша за відстань між точками O та K.

А	Б	В	Г	Д
7 см	13 см	12 см	19 см	14 см

Розв'язування: Маємо MK=26 см, а довжина відрізка MO - відстань між точками M і O.
Нехай OK=x, тоді MO=x+12.
За аксіомою вимірювання відрізків: довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою,
отримаємо MO+OK=MK, тобто
x+12+x=26,
x+x=26-12,
2x=14,
x=7.
Отже, OK=7 см,
MO=7+12=19 см.
Відповідь: 19 см –Г.

Задача 44.7 На відрізку AB завдовжки 20 см позначено точки C та D такі, що AC=15 см, BD=17 см.
Знайти довжину відрізка CD.

А	Б	В	Г	Д
10,5 см	12,5 см	14 см	18 см	12 см

Розв'язування: За умовою задачі маємо: AB=20 см, AC=15 см і BD=17 см.
Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою. Звідси знаходимо
BC=AB-AC=20-15=5 см;
AD=AB-BD=20-17=3 см;
CD=AB-(AD+BC)=20-(3+5)=12 см.
Відповідь: 12 см –Д.

Задача 44.15 Точка C належить відрізку AB завдовжки 9 см.
Знайти довжину відрізка BC, якщо 4·AC+3·BC=32 см.

А	Б	В	Г	Д
6 см	5 см	4 см	3 см	7 см

Розв'язування: За умовою задачі маємо: AB=9см.
Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою: AB=BC+AC.
Нехай BC=x, тоді AC=9-x.
Підставимо отримані вирази в умову задачі:
4·AC+3·BC=32, тобто
4·(9-x)+3x=32,
36-4x+3x=32,
-x=32-36,
x=4.
Отже, BC=4 см.
Відповідь: 4 см –В.

Задача 44.16 Відрізок завдовжки 72 см поділили на 6 рівних частин.
Знайти відстань між серединами крайніх частин.

А	Б	В	Г	Д
62,5 см	60,6 см	58,6 см	63 см	60 см

Розв'язування: Нехай маємо відрізок AB=72см.
Поділимо його на шість рівних частин, тоді довжина кожної такої частинки: AB:6=72:6=12 см.
Позначимо відрізок MK - відстань між серединами крайніх частин, тоді AM+BK=12 см
(тобто становить довжину однієї частинки відрізка), звідси
MK=AB-(AM+BK)=72-12=60 см.
Відповідь: 60 см –Д.

Задача 44.21 Встановити відповідність між рівностями (1–4) та розміщенням точок на
прямій (А–Д).

1. AC=7 см, BC=3 см, AB=10 см
2. AC=7 см, BC=3 см, AB=9 см
3. AC=12 см, BC=4 см, AB=8 см
4. AC=BC-AB

А. Точка B лежить між точками A та C.
Б. Точка A лежить між точками B та C.
В. Жодна з точок A, B та C не лежить між
двома іншими.
Г. Точка C лежить між точками A та B.
Д. Кожна з точок A, B та C лежить на прямій
між двома іншими.

      Розв'язування:   Аксіома вимірювання відрізків:
довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою

1) AB=AC+BC=7+3=10 (см), тому
точка C лежить між точками A та B                                        Г;

2) 9=AB≠AC+BC=7+3 (см), але сума двох відрізків більша за третій, тому
жодна з точок A, B та C не лежить між двома іншими         В;

3) AC=BC+AB=4+8=12 (см), тому
точка B лежить між точками A та C                                        А;

4) AC=BC-AB, звідси BC=AC+AB, тому
точка A лежить між точками B та C                                        Б.

Задача 44.26 Відрізок завдовжки 24 см поділили на чотири нерівні відрізки. Відстань між серединами крайніх відрізків дорівнює 20 см.
Знайти відстань між серединами середніх відрізків.

Дано:
AB=24см,
KN=20см.

Знайти:
LM.

Розв'язування: За умовою задачі маємо:
AK=KC, EN=NB.
Тоді
AK+NB=AB-KN=24-20=4 см, звідси KC+EN=4 см.
Отже, CE=KN-(KC+EN)=20-4=16 см.
За умовою задачі маємо:
CL=LD, DM=ME.
Тоді

8 см - відстань між серединами середніх відрізків.
Відповідь:8.

Самостійно обчислюйте приклади на обчислення довжини відрізків і з часом будете швидко розв'язувати подібні завдання.

Задачі на вимірювання кутів

2018-11-17T20:19:56+02:00

Задач на визначення міри кута багато не тільки в шкільній програмі, але й при вступі у ВУЗи та й на перших курсах навчання. Далі наведено 10 задач, в яких необхідно визначити кут. Подібних прикладів на обчислення кутів можна навести сотні, в більшості випадків вони не важкі і вимагають добрих знань простих властивостей кутів.

Задача 44.8 Який кут утворюють стрілки годинника о 16 годині?

А	Б	В	Г	Д
100⁰	110⁰	120⁰	130⁰	150⁰

Розв'язування: Нехай циферблат годинника замінимо на круг з центром, з якого виходять хвилинна (довша) і годинна (коротка) стрілки.
Градусна міра круга дорівнює 360⁰.
Годинник розділений поділками на 12 рівних частин, градусна міра якої:
360⁰/12=30⁰.
О 16 годині хвилинна стрілка стоятиме в початковому положенні (показуватиме 12), а годинна стрілка пройде рівно 4 частини круга і покаже 4.
Тому кут між стрілками о 16 годині становитиме:

Відповідь: 120⁰ –В.

Задача 44.9 Між сторонами кута AOB проведено промінь OC так, що ∠AOC=2∠BOC.
Знайти кут AOC, якщо ∠AOB=54⁰.

А	Б	В	Г	Д
9⁰	18⁰	27⁰	36⁰	40⁰

Розв'язування: Нехай градусна міра кута BOC дорівнює x, тобто ∠BOC=x.
Тоді градусна міра кута AOC дорівнює 2x, тобто ∠AOC =2x.
Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. Отже, ∠AOB=∠AOC+∠BOC=x+2x=3x.
Але за умовою задачі: ∠AOB=54⁰, тобто
3x=54⁰, звідси x=∠BOC =18⁰ і ∠AOC=2x=36⁰.
Відповідь: 36⁰ – Г.

Задача 44.10 Бісектриса кута A утворює з його стороною кут, що дорівнює 30⁰.
Знайти кут, суміжний з кутом A.

А	Б	В	Г	Д
150⁰	120⁰	165⁰	140⁰	170⁰

Розв'язування: Бісектриса кута – промінь, який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл.
Нехай AK – бісектриса ∠BAC (кута A).
Тоді за умовою задачі ∠BAK=30⁰ , а за означенням бісектриси:
∠BAC=2·∠BAK=60⁰.
Нехай кут BAM суміжний з кутом BAC.
За теоремою: сума суміжних кутів дорівнює 180⁰ маємо:
∠BAM+∠BAC=180⁰ , звідси
∠BAM=180-∠BAC=180⁰-60⁰=120⁰.
Відповідь: 120⁰ –Б.

Задача 44.17 Промінь OD ділить прямий кут AOB на кути AOD і BOD так, що
виконується рівність: 4∠AOD+3∠BOD=28⁰. Знайти градусну міру кута AOD.

А	Б	В	Г	Д
10⁰	20⁰	30⁰	70⁰	80⁰

Розв'язування: За умовою задачі маємо: ∠AOB=90⁰ (прямий).
Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
Отже: ∠AOB=∠AOD+∠BOD.
Позначимо ∠AOD=x, тоді ∠BOD=90⁰-x.
Підставимо отримані вирази в умову задачі:
4∠AOD+3∠BOD=28⁰, тобто
4x+3(90-x)=28⁰,
4x+270-3x=28⁰,
4x-3x=28⁰-27⁰=10⁰,
x=10⁰.
Отже, ∠AOD=10⁰.
Відповідь: 10⁰ –А.

Задача 44.18 Який кут утворюють стрілки годинника о 15 годині 30 хвилин?

А	Б	В	Г	Д
80⁰	70⁰	65⁰	75⁰	85⁰

Розв'язування: Нехай циферблат годинника замінимо на круг з центром, з якого виходять хвилинна (довша) і годинна (коротка) стрілки.
Градусна міра круга дорівнює 360⁰.
Годинник розділений поділками на 12 рівних частин, градусна міра якої:
360⁰/12=30⁰.
О 15.30 хвилинна стрілка стоятиме на позначці 6.
З початкового положення (позначка 12) ця стрілка зробить кут 180⁰.
Годинна стрілка пройде 3,5 частини круга і стоятиме між 3 і 4 посередині. З початкового положення (позначка 12) коротка стрілка зробить кут 3·30⁰+15⁰=105⁰.
Тому кут між стрілками о 15 годині 30 хвилин становитиме:
180⁰-105⁰=75⁰.
Відповідь: 75⁰ –Г.

Задача 44.22 З точки A проведено промені AB, AC та AD.
Встановити відповідність між градусними мірами кутів (1–4) та розміщеннями променів (А–Д).

1. ∠BAC=30⁰, ∠BAD=70⁰, ∠CAD=40⁰
2. ∠BAC=30⁰, ∠BAD=70⁰, ∠CAD=100⁰
3. ∠BAD=∠BAC-∠CAD
4. ∠BAC=120⁰, ∠BAD=140⁰, ∠CAD=100⁰

А. Промінь AD проходить між
сторонами кута BAC.
Б. Жоден з променів не проходить між
сторонами кута, утвореного двома
іншими променями.
В. Промінь AB проходить між
сторонами кута CAD.
Г. Промінь AC проходить між
сторонами кута BAD.
Д. Кожен з променів не проходить між
сторонами кута, утвореного двома
іншими променями.

Розв'язування: Аксіома вимірювання кутів:
градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

1) ∠BAD=∠BAC+∠CAD=30⁰+40⁰=70⁰,
тому промінь AC проходить між
сторонами кута BAD, Г;

2) ∠CAD=∠BAC+∠BAD=30⁰+70⁰=100⁰,
тому промінь AB проходить між
сторонами кута CAD, В;

3) ∠BAD=∠BAC-∠CAD, звідси
∠BAC=∠BAD+∠CAD,
тому промінь AD проходить між
сторонами кута BAC, А;

4) ∠BAC+∠BAD+∠CAD=120⁰+140⁰+100⁰=360⁰,
тому жоден з променів не проходить між
сторонами кута, утвореного двома іншими
променями, Б.

Задача 44.27 Скільки кутів, менших за розгорнутий, зображено на рисунку?

Розв'язування: Кут - це фігура, яка складається з точки - вершини кута і двох різних променів, що виходять із цієї точки, - сторін кута.
На рисунку позначимо п'ять променів, що виходять з однієї точки: OA, OB, OC, OD, OE, тоді випишемо усі кути, які утворилися:
∠AOB, ∠AOC, ∠AOD, ∠AOE, ∠BOC, ∠BOD, ∠BOE, ∠COD, ∠COE, ∠DOE - всього утворилося 10 кутів.

Тут можна помітити арифметичну прогресію:
нехай n - кількість променів, що виходять з однієї точки, тоді

Відповідь:10.

Задача 44.28 З даної точки проведено три промені так, що кути між будь-якими двома з них рівні. Яка градусна міра кожного з цих кутів?

Розв'язування: З точки O проведемо три промені OA, OB і OC так, як сказано в умові задачі: що кути між будь-якими двома з них рівні, тобто
∠AOB=∠AOC=∠BOC.
Оскільки сума всіх кутів, які своїми сторонами (променями) розбивають площину дорівнює 360⁰, то отримаємо
∠AOB=∠AOC=∠BOC=360/⁰3=120⁰.
Відповідь:120⁰.

Задача 44.31 Через точку перетину двох перпендикулярних прямих проведено третю пряму.
Знайти найменший з тупих кутів, що утворився в результаті
перетину, якщо найбільший з кутів дорівнює 165⁰.

Розв'язування: Маємо дві перпендикулярні прямі AB та CD, які перетинаються в точці O, тобто ∠BOC=90⁰.
Пряма MK перетинає прямі AB та CD в точці O так, що ∠BOM=165⁰ (за умовою).
∠AOB=180 (розгорнутий), тому ∠AOM=∠AOB-∠BOM=180⁰-165⁰=15⁰.
∠BOK=∠AOM=15 як вертикальні.
∠COK=∠BOC+∠BOK=90⁰+15⁰=105⁰ - найменших з тупих кутів, що утворилися.
Відповідь:105⁰.

Задача 44.34Який кут утворюють стрілки годинника о 9 год 15 хв?

Розв'язування: Нехай циферблат годинника замінимо на круг з центром, з якого виходять хвилинна (довша) і годинна (коротка) стрілки.
Градусна міра круга дорівнює 360⁰.
Годинник розділений поділками на 12 рівних частин, градусна міра якої:
360/12=30.
О 9.15 хвилинна стрілка стоятиме на позначці 3.
З початкового положення (позначка 12) ця стрілка зробить кут 90⁰.
Годинна стрілка пройде 9,25 частини круга і стоятиме між 9 і 10.
З початкового положення (позначка 12) коротка стрілка зробить кут
3·30⁰-7,5⁰=82,5⁰.
Тому кут між стрілками о 9 годині 15 хвилин становитиме:
82,5⁰+90⁰=172,5⁰.
Відповідь: 172,5⁰ –Г.

Решта прикладів, що вимагають знаходження кута Ви знайдете в уроках цієї категорії.

Суміжні та вертикальні кути. Задачі з поясненнями

2018-11-17T20:16:08+02:00

Готові задачі на суміжні та вертикальні кути дозволять Вам не тільки ознайомитися з основними означеннями та властивостями, що стосуються таких кутів, а й навчать розв'язувати приклади подібні до наведених. Також ми покажемо Вам як оформляти такого класу завдання.
Пояснення до обчислень дуже важливі в першу чергу школярам, далі батькам та студентам. Думають, всі після прочитання залишаться задоволеними.
Приклади взяті із курсу ЗНО підготовки. Основні властивості суміжних та вертикальних кутів достатньо прості, тому на них зупинятися не будемо, а перейдемо зразу до розгляду розв'язків.

Задача 44.11 Сума двох кутів, суміжних з кутом B, дорівнює 80⁰.
Знайти кут B.

А	Б	В	Г	Д
50⁰	100⁰	80⁰	70⁰	140⁰

Розв'язування: Позначимо кут B через ∠ABC.
Тоді кути ∠ABM і ∠CBK є суміжними з кутом ABC, за умовою задачі
∠ABM +∠CBK =800.
Отже, кути ∠ABM і ∠CBK є вертикальними (за означенням) і рівними (за властивістю):
∠ABM=∠CBK,
звідси
2∠ABM=80⁰, ∠ABM=∠CBK=40⁰.
За теоремою: сума суміжних кутів дорівнює 180⁰ маємо:
∠ABM +∠ABC=180⁰, звідси ∠ABC=1800-∠ABM=180⁰-40⁰=140⁰.
Отже, кут B дорівнює 140⁰.
Думаю, наведені пояснення не важко осмислити усім. Наступні приклади теж досить детально будуть розписані.
Відповідь: 140⁰ –Д.

Задача 44.12 На рисунку прямі AB, CD і MK перетинаються у точці O.
Знайти кут BOK, якщо ∠AOC=30⁰, ∠MOD=110⁰.

А	Б	В	Г	Д
70⁰	60⁰	20⁰	40⁰	50⁰

Розв'язування: Згідно з теореми: ∠COK=∠MOD=110⁰ як вертикальні кути.
Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. Отже,
∠AOK=∠AOC+∠COK=30⁰+110⁰ =140⁰.
Згідно теореми: ∠AOK+∠BOK=180⁰ як суміжні кути.
Звідси отримаємо,
∠BOK=180⁰-∠AOK=180⁰-140⁰ =40⁰.
Відповідь: 40⁰ –Г.

Задача 44.13 За даними рисунка знайти градусну міру кута x.

А	Б	В	Г	Д
70⁰	95⁰	110⁰	85⁰	75⁰

Розв'язування: Нехай маємо кути ∠A1AD=700, ∠ADD1=110, ∠ABC=95.
Згідно теореми: ∠A1AD+∠BAD=180⁰і ∠ADD1+∠ADC=180⁰ як відповідні суміжні кути.
Звідси отримаємо,
∠BAD=180⁰-∠A1AD=180⁰-70⁰=110⁰ і ∠ADC=180⁰-∠ADD1=180⁰-110⁰=70⁰.
Оскільки ABCD – опуклий чотирикутник, то сума його внутрішніх кутів дорівнює 360⁰.
Тобто ∠BAD+∠ADC+∠DCB+∠ABC=360, звідси
∠DCB=360-(∠BAD+∠ADC+∠ABC)=360⁰-(110⁰+70⁰+95⁰)=85⁰.
Згідно з теореми: x=∠C1CC2=∠DCB=85 як вертикальні кути.
Отже, x=85⁰.

Відповідь: 85⁰ –Г.

Задача 44.29 Різниця двох суміжних кутів менша за їхню суму на 20⁰.
Знайти градусну міру меншого з цих кутів?

Розв'язування: Нехай ∠AOB і ∠BOC суміжні.
Тоді за теоремою: ∠AOB+∠BOC=180⁰.
Оскільки, за умовою задачі, їх різниця на 20⁰ менша за їхню суму, то маємо
∠AOB-∠BOC=160⁰.
Позначимо: ∠BOC=x, тоді ∠AOB=x+160⁰. Тоді отримаємо,
∠AOB+∠BOC=180⁰,
x+160⁰+x=180⁰,
x+x=180⁰-160⁰,
2x=20⁰, x=20⁰:2=10⁰,
остаточно∠BOC=10⁰.
Відповідь:10⁰.

Задача 44.30 Один з кутів, що утворилися в результаті перетину двох прямих, дорівнює сумі двох інших кутів. Знайти кут між прямими.

Розв'язування: Маємо дві прямі AB та CD, які перетинаються в точці O.
В результаті цього перетину утворилися пари суміжних і вертикальних кутів.
За умовою, ∠AOC=∠AOD+∠BOC, але за властивістю вертикальних кутів ∠AOD=∠BOC.
За властивістю суміжних кутів:
∠AOC+∠BOC=180⁰.
Позначимо ∠AOD=∠BOC=x, тоді ∠AOC=180⁰-x.
Тоді отримаємо,
180⁰-x=x+x,
180⁰=3x,
x=180⁰/3=60⁰.
Отже, ∠AOD=∠BOC=60⁰ і ∠AOC=180⁰-60⁰=120⁰.
Тобто ∠AOD=∠BOC=60⁰ - кут між прямими.
Відповідь:60⁰.

Більше розв'язків задач на суміжні та вертикальні кути Ви можете знайти в сусідніх публікаціях.

Теорема Фалеса. Готові задачі на пропорційні відрізки

2018-11-17T20:10:07+02:00

Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.
Розглянемо приклади в яких відповідь легко знаходяться завдяки знанням та розумінні теореми Фалеса.
Завдання підібрано із програми ЗНО підготовки з математики.

Задача 44.14 На рисунку AA1=A1A2=A2A3=A3A4 і A1B1||A2B2||A3B3||A4B4.
Знайти AB2, якщо B1B4=24 см.

А	Б	В	Г	Д
12 см	8 см	16 см	18 см	визначити неможливо

Розв'язування: Оскільки відрізки пропорційні AA1=A1A2=A2A3=A3A4 і прямі паралельні A1B1||A2B2||A3B3||A4B4, то за теоремою Фалеса:
AB1=B1B2=B2B3=B3B4.
Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на другій його стороні.

За умовою задачі B1B4=B1B2+B2B3+B3B4=24 см, тобто 3·B1B2=24 см, то звідси маємо AB1=B1B2=B2B3=B3B4=8 см.
Тоді AB2=AB1+B1B2=8+8=16 см.
Відповідь: 16 см –В.

Задача 44.24 Встановити відповідність між рисунками (1–4) та довжинами відрізків x на них, якщо прямі a, b та c – паралельні (А–Д).

1
2
3
4

А. 12
Б. 9
В. 36
Г. 16
Д. 1

Розв'язування:         Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.
1) ,    звідси x=1,     Д;
2) , звідси x=16,     Г;
3) , звідси x=9,       Б;

Теорема Фалеса: якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на другій його стороні.

4) x=12, А.

В майбутньому планується сюди добавити ще кілька прикладів, а поки що це все, що було у збірнику із ЗНО підготовки.

Паралельні прямі та січна. Готові задачі

2018-11-17T20:06:16+02:00

Продовжуємо аналізувати готові відповіді до завдань із ЗНО підготовки. Сьогодні розв'яжемо приклади, які мають відношення до паралельних прямих та січної. Багато означень та теорем тут наводити не будемо, лише ті, які необхідні для обчислень.

Задача 44.19 На рисунку прямі AB і CD – паралельні.
Знайти градусну міру кута AOC, якщо ∠BAO=30⁰, ∠OCD=50⁰.

А	Б	В	Г	Д
30⁰	50⁰	80⁰	100⁰	визначити неможливо

Розв'язування: За умовою задачі AB||CD і ∠BAO=30⁰, ∠OCD=50⁰.
З точки O (вершини кута AOD) проведемо промінь OK так, що AB||OK, OK||CD.
(За теоремою: якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою).
Тоді отримаємо, ∠AOC=∠AOK+∠KOC (градусна міра кута рівна сумі градусних мір кутів, на які він ділиться будь-яким променем, що проходить між його сторонами).
∠BAO, ∠AOK є внутрішніми різносторонніми кутами при паралельних прямих AB і OK та січній AO, тому за теоремою, ∠AOK=∠BAO=30⁰.
∠KOC, ∠OCD є внутрішніми різносторонніми кутами при паралельних прямих OK і CD та січній OD, тому за теоремою, ∠KOC=∠OCD=50⁰.
Отже, отримаємо ∠AOC=∠AOK+∠KOC=30⁰+50⁰=80⁰.
Відповідь: 80⁰ –В.

Задача 44.23 Встановити відповідність між парами кутів (1–4), зображеними на
рисунку, та їх назвами (А–Д).

1. ∠1 і ∠4
2. ∠6 і ∠8
3. ∠6 і ∠7
4. ∠1 і ∠8

А. Внутрішні односторонні
Б. Внутрішні різносторонні
В. Відповідні
Г. Зовнішні односторонні
Д. Зовнішні різносторонні

∠1 і ∠4 - зовнішні односторонні кути,         Г;
∠6 і ∠8 - відповідні кути,                              В;
∠7 і ∠7 - внутрішні односторонні кути,                А;
∠1 і ∠8 - зовнішні різносторонні кути,                  Д.

Задача 44.32 Знайти градусну міру кута, під яким січна перетинає паралельні прямі, якщо різниця внутрішніх односторонніх кутів відноситься до їх суми як 2:3.

Розв'язування: Маємо паралельні прямі a, b та січну c.
В результаті утворилися внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 180⁰ за ознакою паралельністю прямих.
Менший з них позначимо за x, а інший 180⁰-x.
Їх різниця:
180⁰-x-x, або 180⁰-2x.
За умовою задачі, складемо пропорцію, розв'яжемо її, тобто знайдемо x:

180⁰-2x=120⁰, 2x=180⁰-12⁰0, 2x=60⁰, звідси x=30⁰.
Отже, 30⁰ - градусна міра кута, під яким січна перетинає паралельні прямі.

Відповідь:30⁰.

Задача 44.33 На рисунку прямі AB та CD – паралельні.
Знайти градусну міру кута MOC.

Розв'язування: Властивість кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною:
якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то внутрішні різносторонні кути рівні, а сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 1800.
За умовою задачі маємо: AB||CD, ∠OCD=25, ∠AMO=85 і ∠BAM=140.
З точок M і O проведемо промені MQ і OP, відповідно, так, що AB||MQ, MQ||OP, OP||CD.
Відрізок AM є січною для паралельних прямих AB і MQ, тоді ∠BAM=140 і ∠AMQ внутрішні односторонні.
За властивістю:
∠BAM+∠AMQ=180⁰, звідси ∠AMQ=180-∠BAM=180⁰-140⁰=40⁰.
За аксіомою вимірювання кутів, отримаємо
∠AMO=∠AMQ+∠OMQ=85⁰, звідси
∠OMQ=∠AMO-∠AMQ=85⁰-40⁰=45⁰.
Відрізок OM є січною для паралельних прямих MQ і OP, тоді ∠OMQ=45⁰ і ∠MOP внутрішні різносторонні.
За властивістю: ∠MOP=∠OMQ=45⁰.
Відрізок OC є січною для паралельних прямих OP і CD, тоді ∠OCD=25⁰ і ∠POC внутрішні різносторонні.
За властивістю: ∠POC=∠OCD=25⁰.
За аксіомою вимірювання кутів, отримаємо
∠MOC=∠MOP+∠POC=45+25=70⁰, отже ∠MOC=70⁰.
Відповідь: 70⁰.

Залишайтеся з нами та отримуйте лише позитив від навчання!

Кут між прямою та площиною

2015-07-16T20:38:10+03:00

Теорія векторів дозволяє знайти кут між прямою, яка задана рівнянням
(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p
і площиною
Ax+By+Cz+D=0.
Пряма може мати наступні розміщення відносно площини:
Пряма паралельна до площини у випадках, коли напрямний вектор s(m, n, p) є перпендикулярний до нормального вектора n(A, B, C) площини. Такою умовою є рівність нулю скалярного добутку векторів
Am+Bn+Cp=0.

Пряма перпендикулярна до площини якщо вектори S і n паралельні, тобто виконується формула
A/m=B/n=C/p

Пряма перетинає під певним кутом площину

Кутом між прямою і площиною називають кут утворений прямою і її проекцією на площині. Він завжди лежить в межах від 0 до Pi/2. Нормаль до площини має кут Pi/2 з площиною, тому напрямний вектор прямої з нормальним вектором площини має кут Pi/2-phi , якщо вони розміщені по один бік площини та P/2+phi, якщо по різні сторони площини.

В кожному з випадків синус приймає додатне значення, косинус може приймати як додатне так і відємне значення. Косинус кута між прямою і площиною рівний скалярному добутку вектора нормалі до площини та напрямного вектора прямої, розділеному на їх норму. Скалярний добуток беруть за модулем. Мовою формул це матиме запис

За цією формулою знаходять синус кута між прямою і площиною. Застосовуючи до неї обернену функцію, обчислюють значення кута

Наведемо декілька прикладів на знаходження кута.

Приклад 1. Знайти кут між площиною 5x-7y+3z-2=0 та прямою, яка задана напрямним вектором до прямої s(1, -2, 3).
Розв'язання: Коефіцієнти в рівнянні площини є напрямними нормального вектора до площини n(5;-7;3). Підставимо у формулу кута до площини

та застосуємо арксинус.

Таким чином кут дещо більший за 47, 24 градуси.
Відповідь: Phi=47, 24.

Приклад 2. Знайти кут між площиною 7x-y+2z+11=0 та прямою, яка задана перетином двох площин
5x-2z+4=0;
3x-2y-5=0.
Розв'язання: Рівняння прямої зведемо до канонічної форми запису. Із першого рівняння виразимо змінну x

Також виразимо змінну з другого рівняння

та складемо канонічне рівняння прямої

Рівняння слід скласти таким чином, щоб біля змінних в чисельнику були присутні однакові множники.
Виписуємо направляючий вектор прямої s(2, 3, 5) та нормальний вектор площини n(7; -1; 2) .
Далі за формулою кута між прямою і площиною виконуємо обчислення

Арксинус приймає значення

Відповідь: Phi=27,66.

Приклад 3. При якому значенні параметрі a пряма l(2a;-19a;-3) і площина 3a*x+y-5z+7=0 будуть паралельними?
Розв'язання: Виписуємо нормальний вектор до площини n(3a; 1; -5) та напрямний вектор прямої l(2a; -19a; -3). Умова паралельності прямої та площини рівносильна рівності нулю скалярного добутку векторів n і l. Знайдемо його

Отримали квадратне рівняння, яке розв'язуємо через дискримінант

Знаходимо корені квадратного рівняння

При параметрах a=5/3; a=3/2 площина і пряма паралельні.

---=====================---

Приклад 4. Знайти кут між площиною та прямою, які задані рівняннями
x-5y+3z+7=0- рівняння площини.
2x+y-3z-5=0; 3x-2y+z+1=0 - рівняння прямої.
Розв'язання: Рівняння прямої необхідно звести до канонічної вигляду. Для цього до першого рівняння помноженого на 2 додамо друге, щоб позбутися змінної y

До першого рівняння додамо друге, помножене на 3, щоб занулити z

Добре перегляньте наведену методику отримання виразу однієї змінної через іншу. З отриманих залежностей складаємо канонічне рівняння прямої в просторі

Записуємо напрямний вектор прямої s(5; 11; 7) та вектор нормалі до площини n(1; -5; 3). Далі підставимо знайдені вектори в формулу кута між прямою і площиною

Як можна побачити з формули, без інженерного калькулятора обчислити синус кута, корені квадратні буде неможливо.
Знаходимо сам кут через арксинус

Кут між прямою і площиною в Maple

Ті хто з Вас має можливість використовувати в навчанні MathCad, MathLab, Maple чи інші математичні програми кут між площиною і прямою знаходять досить швидко. Досить один раз ввести формулу і далі тільки міняти вхідні дані. В пакеті Maple формула кута матиме запис
> restart;
Дана команда звільняє значення всіх змінних. Далі вводимо координати напрямного вектора прямої і вектора нормалі до площини.
> A:=2;B:=-5; C:=7;m:=2;n:=3; p:=-1;

Записуємо формулу, за якою знаходимо синус кута
> S:=sin(abs(A*m+B*n+C*p)/sqrt(A^2+B^2+C^2)/sqrt(m^2+n^2+p^2));

> evalf(S);

Команда evalf округлює значення змінної.
> Phi:=evalf(arcsin(S)/Pi*180);

Кути Maple обчислює в радіанах. Щоб перетворити радіани в градуси, арксинус ділимо на Pi та множимо на 180 градусів.
Досить просто і швидко отримуємо шуканий кут. Отакий простий калькулятор, змінюєте дані - отримуєте новий кут.

Компланарні вектори. Приклади

2015-07-16T20:44:16+03:00

Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній або паралельних площинах.

З цього слідує, що на площині (2D) всі вектори компланарні між собою. Що стосується тримірного простору (3D) то таке твердження не завжди вірне.

В тримірному просторі компланарними будуть кожні два вектори, оскільки через них можна провести паралельні площини.
Якщо маємо більше векторів, то для перевірки використовують необхідну і достатню умову компланарності трьох векторів у просторі.

Умова компланарності векторів

Теорема: Для того, щоб три вектори a,b,c були компланарними необхідно і достатньо, щоб їх мішаний добуток був рівний нулеві.

Таким чином, на практиці компланарність перевіряється обчисленням визначника. Якщо визначник рівний 0 – вектори компланарні.
Більший за нуль – вектори утворюють праву трійку.
Менший нуля – вектори утворюють ліву трійку.

Приклади на компланарність векторів

Приклад 1. Перевірити на компланарність вектори
A(1;2;3), B(-3;1;1), C(2;3;5).
Розв'язання: Обчислюємо мішаний добуток векторів

Оскільки мішаний добуток (=3) не рівний нулеві, то вектори не компланарні. Вони утворюють праву трійку.

Приклад 2. Чи будуть компланарними вектори
A(11;2;3), B(-3;1;1), C(5;0;1).
Розв'язання: Знайдемо мішаний добуток векторів

Розкладемо визначник за елементами другого стовпця

Оскільки мішаний добуток рівний нулю, отже задані вектори компланарні.

Приклад 3. Перевірити, чи належать вектори
AB(1;-1;2), AC(3;2;-1), AD(7;3;0)
одній площині.
Розв'язання: якщо вектори належать площині, то вони за означенням компланарні. Знайдемо мішаний добуток векторів і перевіримо, чи він рівний нулю.

Розкладемо визначник за елементами третього рядка

Умова рівності нулю мішаного добутку виконується, отже вектори компланарні.

Приклад 4. Перевірити, чи належать точки
A(4; 1; -1), B(2; 2; 3), C(-8;-2;5) , D(-3; -1; 2)
одній площині.
Розв'язання: Побудуємо вектори, що починаються в точці A.
AB(2-4; 2-1; 3+1)=(-2; 1; 4);
AC(-8-4; -2-1; 5+1)=(-12; -3; 6);
AD(-3-4; -1-1; 2+1)=(-7; -2; 3).
Обчислюємо мішаний добуток знайдених векторів

Визначник рівний нулю, отже точки належать одній площині.

Перевірка на компланарність векторів в Maple

Якщо завдання виконуєте вдома, а не на заняттях, то можете використовувати математичні пакети. Їх досить багато і з допомогою інтернету можна вивчити будь-яку. Я в свій час навчався працювати в Maple, тому залюбки поділюся з Вами досвідом. Код програми для останнього прикладу наступний
> restart;
> with(linalg): підключаємо модуль лінійної алгебри
> AB:=<-2,1,4>; AC:=<-12,-3,6>; AD:=<-7,-2,3>; - вводимо вектори.
> A:=< AB|AC|AD >; - формуємо матрицю
> ABC:=det(A); обчислюємо мішаний добуток векторів

В результаті отримаємо наступний результат

Якщо не маєте бажання вивчати "МЕЙПЛ" чи другі математичні пакети, то можете завантажити математичний калькулятор YukhymCalc з цього сайту.
В меню вибираєте визначник матриці

Вводите вектори мішаного добутку

і отримуєте результати обчислень

Якщо мішаний добуток (визначник) рівний нулю – вектори компланарні. В протилежному випадку вектори не компланарні.

Використовуйте калькулятор для обчислення визначника та наведений алгоритм перевірки компланарності векторів.

Кут між прямими в просторі. Калькулятор

2015-07-16T20:43:21+03:00

Нехай прямі Lo та L1 задано канонічними рівняннями

Кут між двома прямими phi в просторі вимірюється кутом між їхніми напрямними векторами
s1(m0; n0; p0) і s2(m1; n1; p1).

При цьому слід зазначити, що, вибравши на одній із прямих напрямний вектор, напрямлений в протилежну сторону, дістанемо другий кут, який доповнює перший до повного (2Pi).

Формула кута між прямими в просторі

Косинус кута рівний

сам кут визначаємо через арккосинус

Ця формула визначає кут, на який треба повернути одну пряму в напрямку іншої, щоб вони наклалися.
За властивістю косинуса, умова перпендикулярності векторів слідує з формули

Умова паралельності прямих в просторі ідентична до умови на площині – напрямні вектори мають бути пропорційні.

Всі ці формули кутів справедливі, якщо прямі мають канонічний вигляд, однак на практиці прямі можуть бути задані перетином двох площин
A1x+B1y+C1z+D1=0.
A2x+B2y+C2z+D1=0.
або параметрично
x=a0+a1*t;
y=b0+b1*t;
z=c0+c1*t.
В цих випадках, напрямний вектор прямої перетину площин знаходять через векторний добуток напрямних до площин

а для параметрично заданої прямої в просторі він рівний коефіцієнтам при параметрі

Для подальших обчислень кута застосовують наведені вище формули.

Приклади на знаходження кута

Приклад 1. Знайти кут між прямими, які задані рівнянням
(x-5)/2=(y+3)/(-1)=(z-1)/5 ;
-x=(y-2)/3=(z+3).
Розв'язання: Записуємо напрямні вектори прямих l1(2; -1; 5), l2(-1; 3; 1).
Підставимо у формулу кута

Косинус рівний нулю, значить прямі перпендикулярні.

Приклад 2. При яких значеннях параметрів m та n, прямі паралельні
x/2=(y-1)/m=(z+2)/3; (x+1)/n=(y-2)/3=z/6.
Розв'язання: Записуємо умову паралельності прямих

З даного співвідношення знаходимо шукані параметри

При m=1,5 та n=4 прямі паралельні між собою.

Приклад 3. Знайти кут між прямі, які задані перетином площин
3x-2y+z+4=0, x+5y-7z=0
та параметричним рівнянням
x=3-2t; y=5t-6;z=7-1t.
Розв'язання: Знаходимо напрямний вектор першої прямої через векторний добуток напрямних площин

До прямої, яка задана параметрично напрямний вектор буде наступним
.
Далі застосовуємо формулу кута

Застосовуємо обернену функцію

Отримали кут рівний 62 градуси.
Косинус рівний нулю, значить прямі перпендикулярні.

Калькулятор кута між прямими

З обчислень бачите, що доводиться обчислювати корені, тому варто мати під рукою калькулятор. Для спрощення обчислень пропонуємо скористатися вже готовим калькулятором, який обчислює кут між прямими на площині і в n- вимірному просторі та виводить пояснення до розрахунків.

В меню вибираєте пункт "вектори"- "кут між векторами".

Задаєте розмірність простору та вводите координати напрямних векторів

і після обчислень виписуєте результати знаходження кут.

Результати достатньо детально розписані, тому для багатьох будуть своєрідною підказкою в розрахунках. Завантажити математичний калькулятор YukhymCalc Ви можете за вказаним посиланням.

Відстань від точки до площини. Приклади

2015-07-16T20:39:10+03:00

Відстань від точки до площини — це довжина найкоротшого вектора, проведеного до площини. Оскільки таким вектором є перпендикуляр, то відстань рівна довжині перпендикуляра.

Формула відстані до площини

На практиці площину задають рівнянням Ax + By + Cz + D = 0. Точка в просторі (3D) характеризується трьома координатами F(x0, y0, z0). Формула Відстань від точки до площини знаходять за формулою

Вона виводиться аналогічно до формули відстані від точки до прямої на площині (2D) і геометрично рівна проекції будь-якого вектора проведеного з точки до площини на нормальний вектор площини (див. рис).

На практиці ніякої побудови чи аналізу виконувати не потрібно. Просто підставити дані у формулу і порахувати. Обчислення не надто складні, однак вартує користуватися калькулятором для обчислення кореня та ділення на нього. Решта дій можна виконати без допоміжної техніки.

Приклади знаходження відстані до площини

Приклад 1. Знайти відстань від точки F(1; 2; -1) до площини x-2y+3z-7=0.
Розв'язання: Застосовуємо формулу відстані від точки до площини

Відстань рівна 3,47 умовних одиниці.

Приклад 2. Знайти відстань від точки M(3; 1; 2) до площини 2x+y-z+5=0.
Розв'язання: Підставляємо значення у формулу та знаходимо відстань

Ось так легко обчислили відстань.

Приклад 3. Трикутна піраміда задана вершинами A(1; -1; 2), B(3; 5; 1), C(2; 4; 0), D(8; 1; 3). Знайти висоту піраміди, проведеної з вершини D до основи.
Розв'язання: Складемо рівняння площини через три точки . Для цього виберемо довільну точку M(x; y; z) із площини і побудуємо три вектори
AM(x-1; y+1;z-2);
AB(3-1;5+1; 1-2)=(2; 6; -1);
AC(2-1;4+1; 0-2)=(1; 5; -2).
Знайдемо мішаний добуток векторів площини

Розпишемо визначник за елементами першого рядка

Канонічне рівняння площини наступне
-7x+3y+4z+2=0.
Маючи рівняння і точку D(8; 1; 3) відстань обчислюємо за формулою

Висота піраміди 4,53 умовні одиниці.

Калькулятор відстані в Maple

Якщо часто доводиться шукати відстань і є можливість написати калькулятор в математичному пакеті чи певній мові програмування то варто це зробити. По- перше Ви поглибите знання з програмування чи користування математичними пакетами. З другої сторони, написавши алгоритм обчислень один раз, Ви зможете розв'язати багато задач, змінюючи лише вхідні дані. В пакеті Маple код калькулятора для обчислення відстані від точки до площини матиме вигляд
> restart;
> A:=-7;B:=3;C:=4;DD:=2;x0:=8;y0:=1; z0:=3;

> Dist:=abs(A*x0+B*y0+C*z0+DD)/sqrt(A^2+B^2+C^2);

> evalf(Dist);

За алгоритмом знаходили розв'язок останнього прикладу. Сама ж програма Maple має вигляд

Після всього матеріалу Ви мабуть тепер знаєте, як знайти відстань від точки до площини. Запам'ятайте її та використовуйте там де цього вимагає практика.