Продовжуємо аналізувати серію прикладів на розкриття нерівностей, яка розв'язана для підготовки школярів до ЗНО тестування. 
Сьогодні покажемо, як розв'язувати нерівності методом інтервалів. Методика не надто складно, головне вивчити кілька простих правил, які пояснимо в ході обчислення прикладів.

Пропонуємо завантажити відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж


 

Тема 9. Цілі раціональні нерівності

Уважно прочитайте пояснення та правила, без них важчі приклади на нерівності Вам не зрозуміти.

 

Метод інтервалів для розкриття нерівностей

Приклад 9.10 Розв'язати нерівність (x-1)^2<16.

Обчислення: Є два способи як можна перетворити нерівність на практиці
І – спосіб:
Застосовуємо формули скороченого множення, а саме - різниці квадратів

На числовій осі цьому відповідають значення

ІІ – спосіб:
Перенести 16 в ліву сторону та знайти корені квадратного рівняння

Звідси "ікс" належить інтервалу xє(-3;5).
Відповідь: (-3;5) – В.

 

Приклад 9.11 Розв'язати нерівність (x-3)(x+5)(4-x)≥0.

Обчислення: Такі нерівності розв'язують методом інтервалів.
Суть методу полягає в нанесенні всіх точок в порядку зростання на числову вісь. Далі визначаємо знак функції в одному з інтервалів. В усіх наступних вони будуть чергуватися "мінус, плюс, мінус".
Виняток становлять кратні корені, це наприклад вирази в парних степенях. При переході через такі точки функція не змінює знаку.
Зараз Ви це все побачите з наступних тестових завдань.
Винесемо -1 з останніх дужок і помножимо цю нерівність на -1:
-1•(x-3)(x+5)(x-4)≥0, отже
(x-3)(x+5)(x-4)≤0 (знак нерівності змінили!)
Розв'яжемо відповідне рівняння:
(x-3)(x+5)(x-4)=0, звідси отримаємо x1=3, x2=-5 і x3=4.
Нанесемо їх на числову пряму і побудуємо інтервали.
Підстановкою точки x=0 перевіряємо знак на проміжку [-5;3], на сусідніх знаки чергуються.

Оскільки тепер a>0 то починаємо будувати інтервали над віссю Ox, (для a<0 треба було б починати з «-», тобто будувати під віссю Ox);
так як знак нерівності «менше (або дорівнює) нулю», то беремо у відповідь ті інтервали, у яких крива знаходиться під віссю Ox (і на осі Ox), тобто
x∈(-∞;-5]∪[3;4].
Відповідь:А.

 

Приклад 9.12 Знайти кількість цілих розв'язків нерівності (2-x)^3(x+2)^2(x-3)≥0.

Обчислення: Розв'яжемо задану нерівність методом інтервалів.
Винесемо -1 з перших дужок і помножимо цю нерівність на -1: -1•(x-2)^3(x+2)^2(x-3)≥0, отже (x-2)^3(x+2)^2(x-3)≤0 (знак нерівності змінили!)
Розв'яжемо відповідне рівняння:
(x-2)^3(x+2)^2(x-3)=0, звідси отримаємо три корені x1=2, x2=-2 і x3=3.
Нанесемо їх на числову пряму і побудуємо інтервали. При переході через точку x2=-2 функція не змінить знаку, оскільки дужка піднесена до парного степеня (x+2)^2.

Оскільки тепер a>0 то починаємо будувати інтервали над віссю Ox, якщо у нерівності дужка стоїть у парній степені, то крива свій знак не змінює, якщо у непарній степені, то крива змінює свій знак (!!!);
так як знак нерівності «менше (або дорівнює) нулю» (нерівність нестрога), то беремо у відповідь ті розв'язки, у яких крива знаходиться під віссю Ox (і на осі Ox), тобто x∈[2;3)∪{-2}.
Тут стикнулися з випадком, коли отримали один корінь за межами інтервалу. Такі розв'язки позначають у фігурних дужках "{}".
До цілих розв'язків нерівності належать:
-2, 2 і 3 тому загальна їх кількість дорівнює 3.
Відповідь: 3 – Г.

 

Приклад 9.13 Знайти множину розв'язків нерівності (x-2)^2(x+3)≤0.
Обчислення: Розв'яжемо задану нерівність методом інтервалів.
Відповідне рівняння (x-2)^2(x+3)=0 має два корені x1=2, x2=-3.
Наносимо їх на числову пряму і побудуємо інтервали. При переході через двійку знак не змінюється, оскільки дужка з таким коренем має парний степінь (двійку).

Оскільки нерівність нестрога «менше (або дорівнює) нулю», то беремо у відповідь ті розв'язки, у яких крива знаходиться під віссю Ox (і на осі Ox), тобто
x∈(-∞;-3)∪{2}.
Відповідь:Г.

 

Приклад 9.14 Розв'язати нерівність x(5-x)^3>0.

Обчислення: Розв'яжемо задану нерівність методом інтервалів.
Винесемо -1 з перших дужок і помножимо цю нерівність на -1:
-1•x(x-5)^3>0, отже x(x-5)^3<0 (знак нерівності змінили!)
Розв'яжемо відповідне рівняння:
x(x-5)^3=0, звідси отримаємо x1=0 і x2=5.
Нанесемо їх на числову пряму і побудуємо інтервали.

У заданій нерівності всі змінні входять у непарній степені, тому крива буде змінювати свій знак, тобто нерівність x(x-5)^3<0 буде тотожна нерівності x(x-5)=0 за знаками.
Оскільки як знак нерівності «менше нуля», то беремо у відповідь ті розв'язки, у яких крива знаходиться під віссю Ox, тобто x∈(0;5).
Відповідь: (0;5) – Д.

 

Приклад 9.15 Скільки цілих розв'язків має нерівність –x-5<-3x

Обчислення: Маємо систему нерівностей, яку можна записати у вигляді:

тобто x∈(0,25;2,5).

Як бачимо, до цілих розв'язків заданої нерівності належать числа 1 і 2, тому маємо два цілих розв'язки нерівності.
Відповідь: два – В.

 

Приклад 9.16 Розв'язати нерівність (x^2-3x-10)(x-1)>0.

Обчислення: Таку нерівність розв'яжемо методом інтервалів.
Розкладемо на множники квадратичну залежність x^2-3x-10:
для цього розв'яжемо рівняння x^2-3x-10=0, звідси x1=-2 і x2=5, отже маємо розклад (x+2)(x-5).
Еквівалентна нерівність така (x+2)(x-5)(x-1)>0.
Розв'яжемо відповідне рівняння:
(x+2)(x-5)(x-1)=0, звідси отримаємо три корені x1=-2, x2=5 і x3=1.
Наносимо їх на числову пряму і побудуємо інтервали. Всі корені входять в непарних степенях (=1), тому достатньо вияснити знак в точці x=0 (+), а у всіх сусідніх чергувати (-), (+).
строга нерівність, метод інтервалів
Оскільки маємо строгу нерівність, знак нерівності «більше нуля», то отримаємо два інтервали x∈(-2;1)∪(5;+∞).
Відповідь: (-2;1) ∪(5;+ ∞) – Б.

 

Приклад 9.17 Знайти множину розв'язків нерівності |x-5|<8.

Обчислення: Зараз навчимося розв'язувати нерівності з модулями.
Нерівність з модулем перетворюємо до системи з двох нерівностей:

Коренями будуть точки перетину обох інтервалів x∈ (-3;13).

Відповідь: (-3;13) – Г.

 

Приклад 9.18 Розв'язати нерівність |x+4|>3.

Обчислення: Нерівність з модулем записуємо у вигляді сукупності нерівностей:

Всі ці розв'язки об'єднуємо та наносимо на числову вісь.

В результаті отримаємо два інтервали x∈(-∞;-7) ∪(-1;+ ∞) де нерівність виконується.
Відповідь: (-∞;-7) ∪(-1;+ ∞) – А.

 

Приклад 9.19 Знайти множину розв'язків нерівності |3x|<x+1.

Обчислення: Задану нерівність записуємо у вигляді системи:

Обчислення кожної з нерівностей виконуємо у відповідності із загальними правилами.
Перетином обох інтервалів будуть точки x∈(-0.25;0.5).

Відповідь: (-0.25;0.5)В.

 Решта готових завдань на нерівності розберемо в наступній публікації.