Геометрична прогресія не менш важлива в математиці порівняно з арифметичною. Геометричною прогресією називають таку послідовність чисел , кожен наступний член якої, отримується множенням попереднього на стале число. Конcтанту, яка характеризує швидкість росту або спадання прогресії називають знаменником геометричної прогресії і позначають
знаменник геометричної прогресії, формулаДля повного задання геометричної прогресії окрім знаменника необхідна знати або визначити перший її член. Для додатних значень знаменника прогресія є монотонною послідовністю, причому якщо то послідовність чисел є монотонно спадною і при монотонно зростаючою. Випадок, коли знаменник рівний одиниці на практиці не розглядається, оскільки маємо послідовність однакових чисел, а їх сумування не важке

Загальний член геометричної прогресії знаходять за формулою
загальний член геометричної прогресії, формула

Суму n перших членів геометричної прогресії визначають за формулою
формула суми геометричної прогресії

Розглянемо розв'язки класичних задач на геометричну прогресію. Почнемо для розуміння теорії з найпростіших.

 

Приклад 1. Перший член геометричної прогресії дорівнює 27, а її знаменник рівний 1/3.
Знайти шість перших членів геометричної прогресії.

Розв'язання: Запишемо умову задачі у вигляді

Для обчислень використовуємо формулу n-го члена геометричної прогресії

На її основі знаходимо невідомі члени ряду
обчислення членів геометричної прогресії




Як можна переконатися, обчислення членів геометричної прогресії нескладні. Сама прогресія матиме вигляд

 

Приклад 2. Дано три перших члени геометричної прогресії : 6; -12; 24.
Знайти знаменник та сьомий її член.

Розв'язання: Обчислюємо знаменник геометричної прогресії виходячи з його означення
знаменник геомитричної прогресії, обчислення
Отримали знакозмінну геометричну прогресію знаменник якої рівний -2. Сьомий член обчислюємо за формулою
обчислення, геометрична прогресія
На цьому задача розв'язана.

 

Приклад 3. У геометричній прогресії задано двома членами ряду .
Знайти десятий член прогресії.

Розв'язання: Запишемо задані значення через формули

За правилами потрібно було б знайти знаменник а потім шукати потрібне значення, але для десятого члена маємо

Таку ж формулу можна отримати на основі нехитрих маніпуляцій з вхідними даними. Поділимо шостий член ряду на другий, в результаті отримаємо

Якщо отримане значення помножити на шостий член, то отримаємо десятий

Таким чином для подібних задач за допомогою нескладних перетворень в швидкий спосіб можна отримати правильний розв'язок.

 

Приклад 4. Геометричну прогресію задано рекурентними формулами

Знайти знаменник геометричної прогресії та суму перших шести членів.

Розв'язання: Запишемо задані рівняння у вигляді формул

Та виразимо знаменник розділивши друге рівняння на перше

Знайдемо перший член прогресії з першого рівняння


Обчислимо наступні п'ять членів для знаходження суми геометричної прогресії
члени геометричної прогресії, обчислення
члени геометричної прогресії, знаходження
члени геометричної прогресії, встановлення
члени геометричної прогресії, розрахунок
члени геометричної прогресії, формула
Оскільки знайти суму в даному випадку не складає великих зусиль то, оминаючи прості пояснення, зводимо всі доданки під спільний знаменник
сума геометричної прогресії, обчислення
В загальному випадку, при знаходженні суми знакозмінних рядів слід виділяти їх додатну частину та від'ємну, та знайти окремо їх суми за наведеними вище формулами. Далі знайдені значення додати.

Переглянути схожі матеріали: