Відповіді до контрольної роботи допоможуть підтягнути з практичних самого лінивого студента. Аналізуйте розв'язки контрольної з теорії ймовірностей та обчислюйте задачі за наведеними схемами.

Контрольна робота №1. ВАРІАНТ – 16

Завдання 1 Навмання складається букет із трьох квіток. Серед квіток є 6 айстр, 5 троянд та 3 ромашки.
Знайти ймовірність того, що букет складається:

  • а) із трьох троянд;
  • б) із трьох ромашок;
  • в) із 1 троянди, 1 ромашки та 1 айстри.

Розв'язання: Схема обчислень такого сорту задач з ймовірності полягає в знаходженні числа всіх можливих подій, далі числа сприятливих подій. Сама ймовірність рівна відношенню цих чисел p=m/n.
При такому формулюванні обчислення проводимо через формулу розміщень

Уважно перегляньте, як спростовувати факторіали в дробі.
а) Число сприятливих подій рівна кількость способів, за якими можна вибрати 3 троянди із 5 можливих (розміщення з 5 по 3):

Ймовірність скласти букет із трьох троянд рівна:
P(A)=m/n=60/2184=0,0275.
б) Число способів, за якими можна вибрати 3 ромашки із 3 можливих рівне m=3*2*1=6.
Ймовірність склаcти букет з трьох ромашок рівна частці чисел:
P(B)=6/2184=0,00275.
в) Число сприятливих подій, за якими можна вибрати 1 троянду з 5, 1 ромашку з 3 і 1 айстру з 6 рівне добутку відповідних розміщень:

Ймовірність події C, при якій складають букет із 1 троянди, 1 ромашки та 1 айстри рівна:
P(C)=m/n=90/2184=0,0412.
Дану задачу можна розв'язати другим способом.
а) Маємо 14 квіток, потрібно вибрати 3 троянди з 5. Першу можна вибрати з ймовірністю p1=5/14, після того залишиться 4 троянди і 13 квіток. Тоді другою троянду можна витягнути з ймовірністю p2=4/13, і 3 троянду в букеті з ймовірністю p3=3/12. Ймовірнысть скласти букет із трьох троянд рівна добутку ймовірностей
p=p1*p2*p3=5/14*4/13*3/12= 5/182=0,0275.
Методика не складна і її під силу вивчити за кілька прикладів.
б) Для цього пункту важливо, що маємо 3 ромашки з 14 квітів, а букет має містити всі 3 ромашки. Не розписуючи всі міркування, знайдемо ймовірність за попередньою схемою
p=p1*p2*p3=3/14*2/13*1/12= 1/364=0,00275.
в) Ймовірність буде рівна добутку часток квітів, при цьому слід враховувати, що їх кількість буде зменшуватися на одиницю при кожному виборі
p=p1*p2*p3=5/14*3/13*6/12= 15/364=0,0412.
При цьому порядок вибору квітів (перша троянда чи третя) не змінює ймовірність скласти з них букет.

 

Завдання 2 Студент знає 20 питань із 25 програми. Знайти ймовірність, що студент із трьох запитань відповів:

  • а) на одне запитання;
  • б) на всі запитання;
  • в) не відповів на жодне.

Розв'язання: Число можливих способів, за якими можна вибрати 3 запитання із 25, тобто кількість різних білетів знаходимо за формулою розміщень:

а) Число способів, за якими студент відповів на одне запитання з 3 рівне добутку розміщень:

Перше з них означає, що вибираємо 1 питання з 20 на які студент знає відповідь, друге- кількість варіантів вибрати 2 питання з 5.
Ймовірність події A, при якій студент відповів на одне запитання з 3 рівна частці:
P(A)=m/n=400/13800=0,029.
б) Число способів, за якими можна вибрати білет із 3 запитанням, на які він знає відповідь рівна розміщенню з 20 по 3:

Ймовірність такої події B знаходимо за класичною формулою:
P(B)=m/n=6840/13800=0,4957.
в) Останнє значення ймовірності приймає найменше з усіх значень. А все тому, що студент вивчив більшість питань на екзамен, і лише є 60 способів витягнути 3 питання з 5 , на які він не знає відповіді:

Ймовірність події C, при якій студент не відповів на жодне запитання рівна:
P(B)=m/n=60/13800=0,0043.
Ось і всі пояснення до задачі.

 

Завдання 3 На контроль надійшли вироби, які виготовлені трьома робітниками. Перший виготовив 20 виробів, серед яких 4% браку, другий – 30 виробів, в яких 1% браку, а третій – 50, серед яких 5% браку. Взята навмання деталь виявилась бракованою.
Знайти ймовірність того, що виріб виготовив 3-й робітник.
Розв'язання: Задачу обчислюємо за формулою повної ймовірності та Байєса. За першою знаходимо ймовірність витягнути браковану деталь, за Байєсом - ймовірність виготовлення бракованої деталі 3 робітником.
Позначимо через Hi - гіпотези, що виріб виготовлений і-м робітником (i=1,2,3).
Тоді ймовірність кожної з гіпотез рівна частці виробів в загальній сукупності:

Сума ймовірностей повинна бути рівна одиниці. Якщо у Вас в сумі не виходить одиниця, значить Ви вже "накосячили", шукайте помилку.
Нехай подія A полягає в тому, що взята навмання деталь бракована. Тоді на основі умови можемо виписати ймовірності того, що браковану деталь виготовив кожен робітник:

За формулою повної ймовірності знаходимо ймовірність, що деталь бракована:
формула повної ймовірності
Ймовірність що браковану деталь виготовив 3-й робітник знаходимо за формулою Байєса
формула Байєса
Вона рівна частці третього доданку в попередньо знайденій ймовірності.

 

Завдання 4 Ймовірність попадання в мішень при одному пострілі 0,6. Знайти ймовірність того, що при 250 пострілах в мішень попали:

  • а) 100 разів;
  • б) не менше 150 і не більше 200.

Розв'язання: а) Завдання на вигляд просте, однак багато з Вас розгубиться, якщо таку задачу розмістити серед простеньких. Для седе запам'ятайте, що при великій кількості випробувань + треба знайти ймовірність попадання в проміжок - це вже підказка застосовувати локальну та інтегральну теорему Лапласа. Якщо, наприклад, мені потрібно знайти точну відповідь на питання б) то в Maple чи іншому мат. пакеті я можу 50 раз застосувати формулу Бернуллі, яка дає найточніше значення, а далі все просумувати.
Проблема в тому, що при теперішньому рівні компютеризації Вас всіх вчат по таблицях шукати наближені значення функцій Лапласа, замість вчити обчислювати їх та всі формули, що є в теорії ймовірностей в математичних пакетах.
Оскільки ймовірність не залежить від історії (попередніх пострілів), то за формулою Бернуллі знаходимо точне значення
формула Бернуллі Однак його ми точно знайшли не калькулятором, оскільки при піднесенні до 100 і 150 степеня похибка була б великою.
Вам же потрібно швидко оцінити ймовірність, тому наближене її значення знаходимо за локальною теоремою Лапласа.
Оскільки умова застосування формули Лапласа n*p*q=250*0,6*0,4=60>10 виконується, то відхилення від точного значення має бути мінімальним

Виконаємо обчислення x:

За таблицями табулювання локальної функції Лапласа маємо phi

і саме значення ймовірності
локальна функця ЛапласаПорівнюючи показники степеня при основі (-11) робимо висновок, що розбіжність з формулою Бернуллі невелика!

б) Ймовірність, що не менше 150 і не більше 200 попали в мішень при 250 пострілах знайдемо за інтегральною формулою Лапласа:

де - інтегральна функція Лапласа;
- аргументи інтегральної функції розподілу.
Знайдемо точки x1=0, x2=6,45

та виконуємо кінцеві обчислення

Щоб розв'язати задачу з теорії ймовірностей в Maple достатньо наступного коду
в результаті отримаємо всі потрібні значення + графік розподілу ймовірнотей
> restart;with(plots):
> for i from 0 to 250 do P[i]:=250!/i!/(250-i)!*0.6^i*0.4^(250-i) end do:
> P[100];
0.8068876481*10-10
> plot([seq([i,P[i]],i=0..250)]);
> sum(P[k],k=150..200);
0.5274337243

Щоб переконати Вас, що все насправді так легко наведу Вам фрагмент розрахунків
ймовірність в Maple

 

Завдання 5 В партії 10% нестандартних деталей. Взято чотири (n=4). X - число нестандартних серед відібраних. Знайти закон розподілу випадкової величини X, знайти математичне сподівання випадкової величини M(X), дисперсію D(X), середньоквадратичне відхилення , функцію розподілу F(X) та побудувати її графік.
Розв'язання: Оскільки від досліду до досліду ймовірність не змінюється (а саме p=0,1 і q=1-p=0,9), то відбирання нестандартних деталей змінюється за самим поширеним серед інших біноміальним законом:
біноміальний закон розподілу
Результати для 4 деталей запишемо у таблицю:
Графік закону розподілу має вигляд
Математичне сподівання випадкової величини M(X)=n*p=4*0,1=0,4.
Дисперсія D(X)=n*p*q= 4*0,1*0,9=0,36.
Середнє квадратичне відхилення випадкової величини X:
Середнє квадратичне відхилення
Функцію розподілу випадкової величини X знайдемо за формулою:

Результати запишемо в таблицю:
Графік функції розподілу має вигляд
функція розподілуНа цьому задача розв'язана.

 

Завдання 6 Випадкова величина задана щільністю розподілу f(x):
щільність розподілу
Знайти функцію розподілу F(X), математичне сподівання випадкової величини M(X), дисперсію D(X) випадкової величини та ймовірність того, що в результаті випробувань x набуде значень, що належать інтервалу (a;b). Побудувати графіки f(x) та F(x).
Розв'язання: Функцію розподілу знаходимо через інтеграл від щільності:

Сталу інтегрування знаходимо з умови, що функція розподілу на кінці рівна одиниці F(4)=1.
Пам'ятайте про те, що вона повинна приймати значення выд 0 до одииці і бути неперервною.
Звідси 4-4+С=1, С=1.
Графік щільності f(x) та функції розподілу F(x) навдено нижче:
щільність розподілу функція розподілу Математичне сподівання знахидомо інтегруванням:
математичне сподівання
Дисперсію через інтеграл обчислюємо за формулою:
дисперсія
Ймовірність того, що в результаті випробувань x набуде значень, що належать інтервалу (a;b) рівна інтегралу:

Його значення обчисліть самостійно.

 

Завдання 7 Відомі математичне сподівання a=12 та середнє квадратичне відхилення випадкової величини x, яка розподілена нормально.
Обчислити ймовірність того, що

  • а) ця випадкова величина прийме значення, які належать інтервалу =(10;20);
  • б) абсолютна величина відхилення |x-a|<6 буде менше за

Розв'язання: а) Для знаходження імовірності того, що випадкова величина x прийме значення, які належать інтервалу скористаємось інтегральною формулою Лапласа :
ймовірність попадання в інтервал
На краях інтервалу отримаємо такі значення

Просумувати їх не складає великих проблем.

б) Для знаходження імовірності того, що абсолютна величина відхилення |x-a|<6 буде менше за 6 скористаємось формулою:

З таблиці знаходимо значення

та множимо його на 2

Це і буде ймовірність, що абсолютна величина відхилення менша за 6.
На цьому розбір контрольної завершено, більше готових відповідей на типові задачі з теорії ймовірностей шукайте на сторінках сайту.