При знаходженні розв'язків квадратного рівняння бувають ситуації коли отримуємо від'ємний дискримінант. Це означає, що на множині дійсних чисел таке рівняння розв'язків немає. Однак з введенням в розгляд комплексних чисел стає можливим знаходження кореня з від'ємного дискримінанта та розв'язання таких рівнянь.

Розглянемо методику знаходження розв'язку квадратного рівняння з від'ємним дискримінантом. Нехай маємо рівняння вигляду

Дискримінант знаходимо за формулою

У випадку, коли дискримінант – невід'ємне число отримуємо два дійсні корені

Якщо дискримінант від'ємний D<0, то за властивістю комплексних чисел квадрат уявної частини рівний міну одиниці i2=-1 , тому корені з дискримінанта приймуть значення

При цьому розв'язок квадратного рівняння з від'ємним дискримінантом тепер існує і його можемо знайти за формулою

Таким чином, завдяки комплексним числам вдається розв'зати рівняння, які в школі усіх вчили, що не мають коренів. Наведемо розв'язки декількох прикладів.

 

Приклади 1. Знайти розв'язок квадратного рівняння
(1)

Розв'язок. Обчислюємо дискримінант

Він від'ємний, тому корені рівняння приймуть комплексні значення

Після спрощень, отримаємо значення

Обчислень, як бачите, небагато і розв'язки отримуємо в досить простий спосіб.
Розглянемо наступне рівняння.

(2)

Розв'язок. Обчислюємо дискримінант

Корінь квадратний з від'ємного дискримінанта прийме значення

Отримане значення підставляємо в формулу коренів

та знаходимо

(3)

Розв'язок. Дискримінант рівняння як і в попередніх завданнях - від'ємний

Знайдене значення підставляємо в формулу для обчислення коренів

Після простих маніпуляцій отримаємо корені рівняння


Багатьом з Вас наведені приклади квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом не є складні, а методика розв'язання мабуть знайома. Та сподіваюсь, що серед Вас набереться частина студентів, для яких дана стаття буде корисною та повчальною.